说说大 n qcd （修改稿）

作者：dir

应一网友的要求, 我曾写过一点关于我工作的一个方向, 大 n qcd. 现在我对一些内容作了修改，仍作为一个非正式科普吧. 今年是爱因斯坦物理年, 恰好也是层子模型提出 40 年, 加之去年诺贝尔奖授予 qcd 这个领域，修改重贴此文，凑凑热闹。

先说 qcd. 所谓 qcd 即 quantum chromo-dynamics, 叫作量子色动力学. 要了解 qcd, 有必要先知道量子电动力学, 即 qed. 它就是电与磁的量子物理理论. qed 描述了正负电子与光的相互作用. 电子之间, 或正负电子之间通过交换光子来相互作用. 光子也就是光的基本量子, 和电子一样是一种基本粒子. qed 的相互作用很弱, 在一个自然的单位里, 其强度由一个常数来表征, 它的大小为 1/137.

原则上, qed 完全地描述了我们经验中的绝大多数现象, 从生物学的, 化学的, 到凝聚态物理学的, 因为这些现象本质上都是电磁现象. 但这仅仅是原则上. 实际上没有人能从单个电子的行为去计算人的行为, 虽然人是由电子, 质子等构成的. 那太复杂了! 这种想法恰好是不科学的. 对于不同尺度上的现象, 我们可用不同的概念和理论体系, 只要这理论好用. 而不同尺度上的理论之间的关系要用到有效理论和对偶性这样的观念, 我在另外的帖里介绍过, 在这里就是题外话了.

有一种现象 qed 是不能描述的, 那就是质子和中子的内部结构. 现在我们知道, 质子和中子是由更小的粒子, 夸克和胶子组成的. 夸克和胶子是如同电子和光子一样的基本粒子. 可是它们是怎样被束缚于那么小的质子之中的呢? qed 是解释不了的. 这样紧密的结合是由于夸克和胶子之间的非常强的相互作用造成的. 描述夸克和胶子之间的相互作用的理论就是 qcd.

夸克的概念是由 murray gell-mann 和 george zweig 在 1964 年提出的. 夸克携带分数电荷, 如 2/3 或 -1/3 的电子电荷. 可是分数电荷从未在实验上观测到过. gell-mann 当时不理解夸克的性质, 曾说夸克只是个数学概念. 但有些人却把夸克认真看待. 其中值得说的是当时的北京基本粒子研究组. 高能物理所(的前身), 北大, 数学所和科大的理论物理学家们把夸克作为物理实体, 赋予其更多的性质, 后来称之为层子. 他们研究了层子的动力学, 于 1965-66 年提出了层子模型. 这项研究除了与大量的实验现象, 也与毛泽东和列宁等关于物质无限可分的哲学思想有很大关系. 层子模型需要解决的问题之一就是为什么实验上从未观测到分数电荷. 据我所知, 有人提出层子很重, 以至实验上还看不到. 可是为什么由层子构成的质子和中子又不重了呢? 有观点说是由于层子的复杂动力学. 文革打断了这项研究. 现在回头看, 层子模型本身是很初级的. 但在当时的国际背景下来看, 这个研究是很深入的. 现在我们知道关于夸克的正确理论是 qcd. 如果层子模型研究不因文革而打断, 他们能够在走向 qcd 的路上走多远呢? 不知道, 历史是无法重复的. 另外, 毛主席关于科学的主要方向是基本粒子, 生命起源和天体演化的言论, 使当时国内的基本粒子物理研究比别的学科受到较少干扰. 层子模型获得 82 年国家自然科学二等奖. 其中的主要人物是朱洪元, 胡宁, 何祚庥和戴元本. 层子模型的研究队伍后来就形成了国内基本粒子物理研究的主要力量. 仅就研究水平而言, 在改革开放后的相当长的时间里, 他们比其他学科的研究水平高.

qcd 描述夸克类似于 qed 描述电子. 夸克携带另外一种荷: "颜色". 这是其本质. 这里说的颜色荷纯粹是个名称, 与我们看到的颜色没有任何关系. 一个夸克带下面三种颜色荷之一: 红, 绿, 蓝. 其反粒子, 反夸克则带相反的荷: 反红, 反绿或者反蓝. 对比 qed: 电子只有负电一种荷, 其反粒子则带相反的正电荷.

多说两句 "颜色" 这种夸克新的特征的来历. 这个特征是在分析实验后, 为了不与 pauli 不相容原理矛盾而得出的. 大家都知道最初探讨 "颜色" 者是 yoichiro nambu （南部阳一郎）等人. nambu 是物理学大家. 他首先在粒子物理内引入对称性自发破缺的概念, 我看是应得诺贝尔奖的人. 鲜为人知的是在研究层子模型时, 刘耀阳也提出了类似夸克"颜色"的概念. 他的论文发表在文革前（66年）出版的 "原子能" 杂志上. 90 年代有人写了一篇文章说刘耀阳是第一个提出这个概念的人, 并与刘的原文一起投到 "nature". "nature" 让 nambu 审稿. nambu 的审稿意见是他不同意刘是第一个提出这个概念的人, 但他同意刘是第一个提出这个概念的人之一. 审稿意见上签着 nambu 的名（也就是说不是匿名审稿）. 注意, 无论 nambu 还是刘耀阳，他们提出的 "颜色" 理论都不真正对。比如刘耀阳提出的新荷更类似于电荷. 真正正确的夸克“颜色”荷是 72 年 gell-mann 等人提出的. 如果仅仅指出夸克带 "颜色" 这种新的特征，那只是迈出了一小步.

qcd 真正重要、更为本质的是说, 这些 "颜色" 荷之间有相互作用! 就象电荷之间有吸引或排斥作用. 传递 "颜色" 荷之间相互作用的粒子就是胶子, 就象传递电荷间作用的是光子. 但是, "颜色" 荷相互作用（qcd）与电荷相互作用（qed）有一个本质的不同: 胶子本身也带颜色荷. 光子不带电荷, 它只是传递电荷间的相互作用. 光子和光子之间没有相互作用. 胶子带颜色荷就意味着不仅它传递夸克之间的相互作用, 它们自身之间也要相互作用.

用较为抽象的数学, 群论语言来说, qed 是具有 u(1) abel 群规范对称性. 其中这 "1" 即指这理论描述一对儿荷的相互作用. qcd 具有 su(3) 非 abel 群规范对称性. 其中这 "3" 是说该理论描述三对儿荷的相互作用.

非 abel 规范对称是杨振宁与 r.l. mills 在 1954 年提出来的. 他们的理论是对 abel 规范对称（即电磁学）的非常不平凡的推广. 他们当时把这个理论用错了地方. 即便如此, 这理论结构本身所展示出来的简洁优美让其他某些富有洞察力的物理学家念念不忘. 后来当有了夸克 "颜色" 的概念后, 非 abel 规范对称理论就被自然用于夸克胶子相互作用. 在当时国内, 一些优秀的物理学家也注意到了杨振宁与 mills 的理论. 但这并未成为主流研究方向, 主要原因是这理论不实用; 其次也有人批判说这是先理论后实验, 不符合马克思主义认识论. 但是还是有人在坚持研究这个理论, 比如在兰州大学的段一士等.

关于这非 abel 相互作用, 我用婚姻性爱来打个通俗的比方. 人类及生物界两性关系就象是 abel 的, 也即是有雄与雌正负两种荷, 也就是只有一对儿荷. 稳定的唯一结构是两性结合于一起. （同性恋忽略不算, 那是倒错行为, 在整个社会中占极少数.） 什么是非 abel 的性关系呢? 这种情况下, 性别就不只是一对. 以 su(3) 例, 性别有 3 对儿, 我分别叫它们雄1与雌1, 雄2与雌2, 雄3与雌3. 注意, 这三种雄性是完全不同的性别, 三种雌性也互相不同. 由于复杂的相互作用, 稳定结构不仅有雄雌成对, 三种不同的雄性结合在一起也是稳定的, 三种不同的雌性亦然. 哈哈, 这后者也许才能称之为真正的同性恋. 注意, 三种雄性必须是不同的才能结合在一起, 即（雄1-雄2-雄3）. 他们两两相见都是排斥的, 但如果三个同时见面, 立马吸引在一起. 这种恋爱不好谈啊. 而质子或中子正是由这样的三种不同颜色的夸克构成的.

非 abel 规范相互作用理论的一个极重要的进展来自于对其量子性质的研究. gerard 't hooft (1972), h. david politzer (73), david gross 和 frank wilczek (73) 在做一圈费曼图计算后发现: 夸克之间靠得越近, 它们的相互作用就越弱. 这个特性叫做渐近自由. 它是由于我上面说到的胶子的自相互作用造成的. 距离近, 也就意味着夸克的能量高. 渐近自由也就是说夸克胶子的能量越高, 它们的相互作用就越弱. 对 qcd 来说, 所谓高能是指能量远大于 300 百万电子伏特.

相互作用一弱, 理论家们就笑了. 因为他们可以进行计算了. 如同在 qed 里人们用那个小常数 1/137 做微扰展开, qcd 在高能时也用其相互作用常数做微扰论计算. （当然这个常数还是比 1/137 大.） 我们都知道, 对于绝大多数物理问题, 理论的计算方法就是微扰论. 只有极个别问题可以不用近似方法而被严格算出, 如氢原子, 谐振子. 后来三十多年的高能物理发展证实了 qcd 是符合实验的. 这自然是后话.

再说几句历史. 非 abel 相互作用理论的渐近自由是当时人们完全没有料到的. 但这个特性却又是 70 年代初的人们所寻求的, 因为那时的高能实验发现质子内的夸克相互作用很弱. 渐近自由的发现才真正奠定了 su(3) 规范对称理论作为夸克胶子动力学的基础. 杰出的华裔物理学家徐一鸿（a. zee）离这个发现就差一步. 他为了找具有渐近自由性质的相互作用, 计算了除了非 abel 相互作用以外的所有其它相互作用, 结果那些相互作用都不具有这个特性. 他没有去试非 abel 相互作用的原因是他听从了一位大物理学家的话, 后者告诉他非 abel 相互作用不可能有渐近自由.

对 qcd 仅会微扰计算是不够的. 要证明 qcd 确实是关于夸克胶子相互作用的正确理论, 这个理论必须解释为什么单个的夸克和胶子从来没有被看到过. 不仅夸克禁闭, 质子和中子的质量等很实际的问题也都应从 qcd 直接计算出来. 这些问题难倒了所有人, 至今没有完全解决. 它们涉及的典型能量是 300 百万电子伏特左右, 此时的夸克胶子的相互作用非常强, 表征其强度的相互作用常数比 1 还大, 理论计算不能用上面提及的微扰论, 这时对此常数做展开就是没有意义的了. 我们需要非微扰的 qcd 计算方法.

为了研究夸克禁闭, 't hooft 在渐近自由之后, 对杨－ mills 理论作了很多非微扰方面的研究. 他研究了经典杨－ mills 理论的磁单极子解. alexander polyakov 和 't hooft 研究了瞬子解. 这些方向都超出我要说的范围. 't hooft 关于渐近自由的工作并没有发表, 他是在一次会议上口头报告的. 他当时觉得这项工作不那么重要. 因为只有证明夸克禁闭才能说 qcd 是正确的. 可是实际研究 qcd 的情况却是大家一窝蜂一样开始做微扰 qcd. 一个深刻的思想有时不会被同行马上接受. 容易被接受的是那种容易跟进的, 容易做出工作的方向. 't hooft 是那个时代最深刻的理论家之一. 他（和他的老师 martinus veltman 因为另一项工作－规范场重正化）获得 99 年诺贝尔奖. 我曾与很多人看法不同，认为渐进自由将不会被受诺贝尔奖。原因是：虽然十分重要，但这项工作为四人做出, 奖没法发；而且我认为证明渐近自由的其他那三个人水平不如 't hooft，所以 't hooft 得奖已经暗含着对了渐近自由的奖励. 现在看来我是错的, 04 年的诺贝尔奖给了那三个人.

夸克禁闭, 或者非微扰 qcd 问题, 也是 clay 数学研究所百万美元征奖的七个千年问题之一. 虽然不研究数学, 但我相信这是其中最难的问题. 不懂物理是不可能做出来的. 比如说, 量子力学一定要用到, 因为经典的杨－ mills 理论里是没有禁闭的.

上面简单说到渐进自由使人开始相信 qcd 是关于夸克和胶子的理论. 其实还有另外一点 qcd 也必须满足, 然后人们才能认真对待它. 那就是它必须符合已知的关于质子中子等交换 pion 介子的低能相互作用知识. 后者可以看成是 qcd 的范德瓦尔斯力. pion 介子理论关键的一个假设是所谓部分轴矢量流守恒（pcac）. pcac 是 60 年代初 nambu（60）, 周光召（61）, gell-man 和 m. levy（61）提出的. 周光召当时在苏联. 这是迄今为止在国内的理论物理学家的最好工作, 是那种很基本, 影响深远的工作.

72 年杨振宁第二次回国访问使国内展开了对杨－ mills 理论经典解的研究. 这些工作当然没有赶上 't hooft 和 polyakov 等. 't hooft 等的工作后来成为这个方向的基础. 国内的工作很多获得 82 年国家自然科学三等奖（我觉得那时的三等奖水平不亚于现在的二等奖）. 我觉得他们大多没有 't hooft 等人的工作动机: 夸克禁闭. 以此为动机, 't hooft 在磁单极子和瞬子的工作之后, 继续前进, 又找到一种非微扰 qcd 计算方法: 大 n 方法.

't hooft（74）把 qcd 的规范群 su(3) 推至 su(n), n 为无穷大. 这就是 "大 n" 的来历. 直观地讲就是把三种 "颜色" 变为无穷多种. 换句话说就是把 3 看成很大的数. 这时候理论就出现一个小参数: 1/n. 新的算法以 1/n 做展开.

大 n 极限定性地讲不应与 3 种 "颜色" 的情况有实质区别, 它突出了理论的非 abel 特征（abel 情况只有一种荷）. 比如, 如果能证明大 n qcd 有颜色禁闭, 人们也就更有理由认为真实的 qcd 有禁闭. 在定量方面, 原则上我们可以继续考虑 1/n 修正从而得到更准确的结果. 这是人们喜欢这个方法的原因.

类似于大 n 的做法具有普遍性. 其它领域也可以借鉴. 特别是在对具有很强相互作用的体系, 或者是对不能用通常意义上微扰论的问题. 做法就是想法儿硬找出一个隐含在问题里的小量. （也就是那句话 "有困难要上, 没有困难创造困难也要上! "） 以我们熟悉的氢原子为例. 它在量子力学中严格可解只是个巧合, 解恰好可以表达为合流超比级数. 大多数问题不能严格解. 现在我们来做一个微扰论解法. 氢原子问题看去没有可以做展开的小参数, 效仿大 n 精神, 我们可以尝试把空间的维数从 3 推广至 m, 并把 m 取为很大. 在对 1/m 做展开后, 我们就能求出该问题的一个近似解. 近似解领头阶的结果与严格解接近, 更准确的结果将从考虑 1/m 的高阶修正得到. 这个方法的细节参看下面列出的文章.

现在说大 n qcd. 在取 n 很大很大后, 耦合常数随 n 增大而减小. 这样我们仍然可以用费曼图来分析. 但不能忘记的是我们现在做的是 1/n 展开, 不是耦合常数展开. 在 1/n 的每一阶, 都有无穷多的费曼图. 在 1/n 领头阶, 所有费曼图都有一个特点, 即他们必须是所谓平面图. 平面图是指只能在平面内摆放的图, 没有传播子内线的交叉（这种情况在平面内摆放不下）, 而且费米子只出现在图的边沿.

应用上述结果, 't hooft 讨论了介子. 介子是由正反夸克构成的复合粒子. 用平面图分析介子, 可以得到很多结果, 举例如下: （1）大 n 时的介子是没有相互作用的, 是自由的.这一点看似平庸, 其实不然. 它说明夸克喜欢躲在介子里. 这不是夸克禁闭的旁证吗? （2）j/psi 粒子的衰变宽度是 1/n 量级的, 也就是说很窄. j/psi 是丁肇中和 burton richter 各自独立从实验上发现的. 它的质量为 3,100 百万电子伏特. 可是它的衰变却较比它还轻的介子慢. 从微扰 qcd 的角度来看, 它是三胶子衰变, 可是它的质量还没有大到我们可以放心用微扰 qcd 的时候. 大 n 分析则是对此问题的非微扰理解.

用平面图来分析介子还值得多说. 如果我们想象介子内的正反夸克有一条线连着, 那么介子运动时这条线就扫过一个平面（其实曲面也无所谓）. 这说明什么? 这个扫出的面就是大 n 介子内的夸克胶子相互作用发生的平面. 这是一回事! 而前者是对介子的弦理论描述. 这说明大 n qcd 支持对介子的这个描述. 用弦来描述介子是早在 qcd 建立之前nambu 就提出来的. 为了解决夸克禁闭问题, polyakov （他是另一个 70 年代很深刻的物理学家）等人一直相信 qcd 有一个弦理论描述. 这个方向, 以及后来把弦理论用于量子引力－超弦理论, 就是另外的故事了.

再说一句完全的题外话, kenneth wilson（又一个 70 年代很深刻的物理学家）提出格点 qcd. 这是一个旨在用数值模拟来计算非微扰 qcd 的方法, 很实际. 虽然我们喜欢从解析的角度去看清问题的实质, 目前人们需要的很多非微扰物理量的具体数值却只能来源于这种数值方法.

大 n 重子（质子和中子）是 edward witten （我有一个帖介绍过他）在 79 年做的. 我一直怀疑 't hooft 不会做这个问题. 3 种 "颜色" qcd 重子由 3 个夸克构成, n 种 "颜色" 的 qcd 中, 重子则由 n 个夸克构成. 由于大 n 重子内有无穷多的夸克, witten 用了平均的方法. 他也得到一些结果, 比如重子与介子, 重子与重子的相互作用是很强的, 这个性质与介子间的相互作用完全相反. 进一步, 他猜测在大 n 极限下, 重子可以视为介子理论的孤立子. 这个猜测在几年后 witten 的另一项工作中被实现（skyrmeon 模型）.

我要介绍的就写完了. 为什么我不写成正式的科普呢? 因为如果已经有很好的科学家写过的话的, 我自己再写完全是多余的. 确实有一个真正好的介绍大 n qcd 的科普文章:
e. witten, phys. today 33 (1980) 38.
我上面提到的关于氢原子的做法就来自这篇文章. 如果你看完这 "physics today" 还意犹未尽, 那就接者读下面这篇研究论文:
e. witten, baryons in the 1/n expansion, nucl. phys. b 160 (1979) 57.
虽然这是研究论文, 但此长文的前一半其实是个综述. 这个综述比迄今为止所有的教材（如 sidney coleman 或 a. manohar 的）都更适合作教材. 我说过的, 真正头脑清楚的人才会写的清楚, 他们更知道问题的关键所在. 不是说别人糊涂（coleman 也是当代大家啊，manohar 也不赖）, 是 witten 太清楚. （不用去念超弦, 单看这篇文章, 你就可以看到 witten 把看去很难的问题理解的简单直观的能力.） 此文的后一半是研究重子.


for the first version, see also http://www.rainbowplan.org/lib/archive/030501002.txt